If all D's are either A's or B's then which of the following is necessarily false?

প্রশ্নে বলা হয়েছে, যদি সমস্ত D হয় A অথবা B হয় (If all D's are either A's or B's)। এর মানে হলো, D সেটের যেকোনো উপাদান A সেটে থাকবে অথবা B সেটে থাকবে, অথবা উভয় সেটে থাকবে। সেট থিওরির ভাষায়, এটি প্রকাশ করা হয় এভাবে: \(D \subseteq (A \cup B)\)। অর্থাৎ, D সেটটি A এবং B সেটের সংযোগ সেটের (union set) একটি উপসেট (subset)।

আমাদের খুঁজে বের করতে হবে, প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে কোনটি 'অবশ্যই মিথ্যা' (necessarily false)। একটি উক্তি তখনই 'অবশ্যই মিথ্যা' হয়, যখন প্রদত্ত শর্ত (এখানে \(D \subseteq (A \cup B)\)) মেনে চললে সেটি কোনো অবস্থাতেই সত্য হতে পারে না; অর্থাৎ, সেই উক্তিটি প্রদত্ত শর্তের সাথে সাংঘর্ষিক (contradictory)।

এখন, প্রতিটি বিকল্পের বিশ্লেষণ করা যাক:

বিকল্প ১: All D's are C's (\(D \subseteq C\))

    
• এই উক্তিটি প্রদত্ত শর্তের সাথে সাংঘর্ষিক নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি C সেটটি এত বড় হয় যে এটি A এবং B উভয় সেটকেই ধারণ করে (যেমন, \(C = A \cup B\)), তাহলে \(D \subseteq (A \cup B)\) শর্তানুযায়ী, D সেট C সেটের একটি উপসেট হবেই। আবার, যদি \(D = \{x\}\), \(A = \{x\}\), \(B = \emptyset\) এবং \(C = \{x\}\) হয়, তাহলেও শর্ত \(D \subseteq (A \cup B)\) সত্য এবং বিকল্পটিও (\(D \subseteq C\)) সত্য। অতএব, এই উক্তিটি অবশ্যই মিথ্যা নয়।

বিকল্প ২: All A's are D's (\(A \subseteq D\))

    
• এই উক্তিটিও প্রদত্ত শর্তের সাথে সাংঘর্ষিক নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি \(A = D\) হয় এবং B সেটটি D থেকে আলাদা বা ফাঁকা সেট হয় (\(B = \emptyset\))। এই ক্ষেত্রে, প্রদত্ত শর্ত "সমস্ত D হয় A অথবা B হয়" (All D's are either A's or B's) হবে "সমস্ত A হয় A অথবা ফাঁকা সেট" যা সত্য। এবং বিকল্প "সমস্ত A হল D"ও সত্য। অতএব, এই উক্তিটি অবশ্যই মিথ্যা নয়।

বিকল্প ৩: Some B's are D's (\(B \cap D \neq \emptyset\))

    
• এই উক্তিটি দ্বারা বোঝানো হচ্ছে যে B এবং D সেটের মধ্যে অন্তত একটি সাধারণ উপাদান আছে। এই উক্তিটিও প্রদত্ত শর্তের সাথে সাংঘর্ষিক নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি D সেটটি সম্পূর্ণরূপে B সেটের একটি উপসেট হয় (\(D \subseteq B\)), এবং A সেটটি ফাঁকা সেট হয় (\(A = \emptyset\)), তাহলে প্রদত্ত শর্ত "সমস্ত D হয় A অথবা B হয়" (অর্থাৎ, \(D \subseteq (\emptyset \cup B)\) বা \(D \subseteq B\)) সত্য হবে। একই সাথে, "কিছু B হল D"ও সত্য হবে (কারণ D এর সব উপাদান B তে আছে)। অতএব, এই উক্তিটি অবশ্যই মিথ্যা নয়।

বিকল্প ৪: All H's are D's (\(H \subseteq D\))

    
• এই উক্তিটিও প্রদত্ত শর্তের সাথে সাংঘর্ষিক নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি H সেটটি D সেটের একটি উপসেট হয় এবং D সেটটি A এবং B সেটের সংযোগ সেটের একটি উপসেট হয়, তাহলে এটি সহজেই সম্ভব। যেমন, \(A=\{1,2\}\), \(B=\{3,4\}\), \(D=\{1,3\}\) এবং \(H=\{1\}\)। এখানে, সমস্ত D হল A অথবা B (1 হল A, 3 হল B), এবং সমস্ত H হল D (1 হল D)। অতএব, এই উক্তিটি অবশ্যই মিথ্যা নয়।

উপসংহার:

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, প্রদত্ত চারটি বিকল্পের কোনটিই 'অবশ্যই মিথ্যা' নয়। প্রতিটি বিকল্পের জন্যই এমন একটি পরিস্থিতি (set configuration) তৈরি করা সম্ভব, যেখানে প্রদত্ত শর্ত \(D \subseteq (A \cup B)\) সত্য এবং বিকল্পের উক্তিটিও সত্য। যেহেতু 'অবশ্যই মিথ্যা' মানে হলো এটি কোনো অবস্থাতেই সত্য হতে পারে না, তাই প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে কোনোটিই 'অবশ্যই মিথ্যা' হিসেবে চিহ্নিত করা যাচ্ছে না।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয় (অর্থাৎ, কোনো অপশনই 'necessarily false' নয়)।